双原子|《张朝阳的物理课》气体比热随温而变？探究双原子分子比热问题

2月13日12时，《张朝阳的物理课》第二十八期准时开播。搜狐创始人、董事局主席兼CEO张朝阳坐镇搜狐视频直播间，探究双原子分子的比热问题。他向网友介绍比热的概念，先推导单原子理想气体的比热，再利用能量均分定理推导双原子分子的比热，但与实验在室温下测得的数据不符。为了解释实验上观察到的定容比热随温度的阶梯变化，张朝阳引入了量子力学中分立能量的概念，以氢气与一氧化碳为例解释了阶梯曲线。最后利用玻尔兹曼分布与谐振子能级，计算了包含零点能的振动能平均能量，导出振动能对应的比热，与比热阶梯图在温度较高时的曲线变化一致。

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“我们的课程有很丰富的内容，如果不复习的话，还是有一定的难度。”今天开讲之前，张朝阳提醒网友学习物理要勤加复习，“一定要下载搜狐视频App。”他继续说，“我们还是学点物理吧，尽管有点费脑，但它是真实的、重大的，跟我们每个人的生活息息相关。”
经典力学的比热：比热依赖自由度能量均分是基础
本节课张朝阳带着网友先研究摩尔比热容问题。摩尔比热容是1mol物质温度升高1K所需的热量，分为定容比热容和定压比热容。在温度升高的前提下，前者要求物体体积不变，后者要求压强不变。一般升高温度时，为了保持压强不变需要膨胀体积，物体对外做功会消耗内能，所以升高同样温度时，定压情况会比定容情况吸收更多的热量，即定压比热容一般会比定容比热容大。张朝阳介绍，这里只考虑定容摩尔比热容，为了方便，统称为定容比热。
“先来看单原子理想气体的比热情况。” 他提示，在温度为T时，根据能量均分定理，每个原子在每个自由度上具有1/2kT的能量，其中k是玻尔兹曼常数。那么一个方向上的动能具有1/2kT的能量，由于这里的理想气体是三维的，有三个方向，一共有3/2kT的能量，那么N个原子组成的气体的总内能是：

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将粒子数N用摩尔数n与阿伏伽德罗常数A表示为N=nA，则内能用摩尔数表示为：
其中，R=kA为普适气体常数。那么计算1mol物质温度升高1K所需的热量就得到单原子理想气体的定容比热：

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讨论完单原子理想气体的比热后，张朝阳带领网友继续研究双原子分子理想气体的比热问题。同样根据能量均分定理，双原子分子每个自由度上分配1/2kT的能量，双原子分子有3个质心平动自由度，有2个转动自由度和1个振动自由度，除了动能自由度外，其振动对应的势能也可以储存能量，从而也贡献1个自由度，这样一共有7个自由度，那么单个分子的能量是7/2kT，类似单原子分子的计算，也可以求得双原子分子理想气体的定容比热是：

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遗憾的是，实验上测得的室温下双原子分子气体的定容比热并不是7/2R，而是5/2R。为什么会这样？他将悬念留在后面。
被“冻结”的自由度：转动振动逐级解冻定容比热阶梯上升
张朝阳继续进行推导，“双原子分子气体的定容比热是随温度变化的，变化曲线像阶梯一样。”

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（定容比热随温度的阶梯图）
“要解释定容比热随温度的阶梯变化，就需要用到量子力学中能量分立的事实，以及玻尔兹曼分布的概念。”张朝阳介绍。玻尔兹曼分布是指粒子在不同能级上分布的概率满足：

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若能级0为基态，由于能级能量在e指数上而且为负，粒子出现在某激发能级上的概率，随该能级能量的升高而快速下降。为了分析在室温下粒子处在激发态上的概率大小，张朝阳将kT用波数表示出来大约为200/cm，如果要激发的自由度的能量?E对应的波数比这个大得多，那么出现在这个自由度对应的激发能级上的概率将会非常小，分配到这部分自由度的能量将明显减少，不再像能量均分定理所说的那样平均分配。
【 双原子|《张朝阳的物理课》气体比热随温而变？探究双原子分子比热问题】张朝阳以一氧化碳为例，根据双原子分子转动能级角动量公式，激发其转动能对应的特征波数B大约为2/cm，比室温下的kT对应的波数要小得多，于是其转动能可以被比较完整地激发，满足能量均分定理。但激发一氧化碳振动能所对应的波数则远远大于室温下kT对应的波数，按照玻尔兹曼分布公式，粒子处在振动能激发态的概率会非常小，几乎都处于基态，其振动自由度被冻结，所以计算比热时可以忽略振动部分的2个自由度，从而室温下的比热的实验测定值就是5/2R。